我们在小学一年级就学过，二阶常系数非齐次线性微分方程：
$$y”+py’+q=f(x)$$
解的结构为齐次线性微分方程的解$\sideset{}{_齐}y$加上特解y*,即：
$$y = \sideset{}{_齐}y+y*$$
对于齐次线性微分方程的解我们暂且按下不表，今天讲特解y*的求法。特解常用的解法有两种，分别为：
1、待定系数法
2、微分算子法
待定系数法虽然简单容易理解，但是计算量大，效率不敢恭维。微分算子法对于刚接触的人来说可能不太容易理解，本人当初第一次听张宇讲的时候听睡着了😅。由于最近做题用待定系数法算烦了，还容易错，于是乎恶补了一下微分算子法并稍微总结了一下。
定义
首先，我们定义符号”D”表示求导，例如：
$$ Dsinx = cosx \quad\quad Dx = 1 \quad\quad (D+1)x^{2} = 2x + x^{2} $$
“D”表示求导，那么很自然的，定义”$\frac{1}{D}$”表示积分，例如：
$$\frac{1}{D}sinx = -cosx \quad\quad \frac{1}{D}x = \frac{1}{2} x^{2} $$
求解步骤
对于微分方程：$$y”+ay’+b=f(x)$$
我们先写出其特征方程：$\lambda ^{2} +a\lambda+b = 0$,然后记：$$F(D)= D^{2}+aD+b$$
此时，特解：$$y*=\frac{1}{F(D)} f(x)=\frac{1}{D^{2}+aD+b} f(x)$$对应不同类型的方程，用相应的方法消去D即可求的解。主要有以下四种类型。
类型一:$f(x)=e^{kx}$
该类型将系数K带入F(D)中的D计算即可，若带入后F(D)=0,对F(D)进行求导并提出一个x，然后接着带入，若代入K后F'(D)还为0,再次进行求导并提出一个x即可，我们可以通过下面的例题来理解：
总结：对于该类型，将K代入D计算，若F(D)为零，对F(D)求导并提出一个X,若求导一次后代入K计算结果仍然为0，则再求导提X，一般考研数学题目到此即可结束了。
类型二:$f(x)=sinax/cosax$
此类型的解法为将a乘以虚数i，即ai(注：$(ai)^{2}=-a^{2}$)带入D,根据特征方程不同又可以分为两类。
1、形如$F(D)=D^{2} +q$
若$ F(D)=D^{2} +q\sideset{}{_{D=ai}}|\ne 0 $，此时，$$y^{*}=\frac{1}{D^{2}+q\sideset{}{_{D=ai}}|} f(x)$$
2、若$ F(D)=D^{2} +q\sideset{}{_{D=ai}}|= 0 $，需要对F(D)求导，并提出x,再对f(x)进行积分，此时
$$y^{*}=x\frac{1}{(D^{2}+q)’} f(x)$$
我们通过两个例题稍加理解：
例题一：$y”-y’=sinx$, 求$y*$
解: $F(D)=D^{2}-1$，将$D=(i)$代入得：
$$F(D)=D^{2} +q\sideset{}{_{D=i}}|=-1-1=-2\ne 0$$于是乎，
$$y^{*}=\frac{1}{D^{2}-1\sideset{}{_{D=i}}|} f(x)=-\frac{1}{2}sinx$$
例题二：$y”+4y’=cos2x$, 求$y*$
解：观察到$$F(D)=D^{2} +q\sideset{}{_{D=2i}}|=-4+4=0$$，于是，我们对F(D)求导并提出一个x,得到$x\frac{1}{2D} cos2x$，再对$f(x)$积分即可($\frac{1}{D}$表示积分），可以解得：$$y^{*}=x\frac{1}{F(D)’} f(x)=x\frac{1}{2D} cos2x=\frac{x}{4} sin2x$$
1、形如$F(D)=D^{2} +pD+q$
对于此类型，用$ai$带入$D^{2}$后，会得到$\frac{1}{pD+\alpha }$($\alpha$为常数)的组合，对于这个组合我们是无法处理的，所以要想办法将其消去，这个时候就需要用到平方差公式，将分母的$\frac{1}{pD+\alpha }$消去凑出$D^{2}$，然后继续带入$ai$。如下面例题。
例三：$y”+3y’-2y=sin2x$ 求$y*$
$y*=\frac{1}{D^{2}+3D-2}sin2x$将2i代入得$\Longrightarrow \frac{1}{3D-6}sin2x$,此时，用平方差公式处理$ \frac{1}{3D-6}$,$$y*=\frac{1}{3D-6}sin2x = \frac{1}{3}\frac{D+2}{D^{2}-4}sin2x=-\frac{1}{24}(D+2)sin2x=-\frac{1}{12}(sin2x+cos2x)$$
类型三:$f(x)=e^{kx} \cdot \varphi (x)$($\varphi (x)$为$sinax,cosax,x的多项式$)
此类型求解需要我们在写出特解$$y^{*}=x\frac{1}{F(D)} e^{kx} \cdot \varphi (x)$$后，将$e^{kx}$往前提，并同时将F(D)替换为F(D+k),如下图所示：
类型四:$f(x)=x的多项式$)
此类型用待定系数法可能会更加简单，这里就不详细讲解了(busi,宿舍断电了，明天再写QAQ)